O Πλατωνισμός ως εποικοδομητικός τρόπος θεώρησης των Μαθηματικών

O Πλατωνισμός είναι κατα μερικούς ένα εποικοδομητικό τρόπο θεώρησης των μαθηματικών. Ο Πλάτων μέσα από τους διαλόγους του "Θεαίτητος", "Φαίδων", "Μένων", "Συμπόσιον", κλπ έφτασε στις "Ιδέες" του μέσο της απόσπασης των σχέσεων από τα
συσχετιζόμενα πράγματα και τη μετατροπή των σχέσεων αυτών σε καθαρά πνευματικές υπεργήϊνες, οντότητες-ιδέες, απρόσιτες από οποιαδήποτε εμπειρία και αιώνιες, αντανακλώμενες στα γήϊνα πράγματα, αλλά ανεπηρέαστες από αυτά.

O Πλατωνισμός υποστηρίζει ότι οι μαθηματικές ιδέες υπάρχουν ανεξάρτητα από την ανθρώπινη γνώση και ανακαλύπτονται από εμάς. Αποτελούν μέρος της φύσης και παραμένουν αμετάβλητα στον χρόνο. Για κάθε ερώτημα στα μαθηματικά υπάρχει και μια απάντηση προκαθορισμένη από τους βασικούς κανόνες των ίδιων των μαθηματικών. 

Αν κάποια ερωτήματα παραμένουν αναπάντητα είναι γιατί απλώς δεν έχουν ανακαλυφθεί ακόμα οι κατάλληλες διαδικασίες για τη λύση τους. Είναι η απόλυτη άποψη για τα μαθηματικά που τα θέλει ως ένα αμετάβλητο σώμα από μαθηματικές αλήθειες η οποία εκφράζει την πεποίθηση για την βέβαιη και χωρίς ψεγάδια μαθηματική γνώση. 

Οι παραγωγικές μέθοδοι της λογικής κάνουν δυνατή τη διατήρηση της μαθηματικής αλήθειας, ενώ η μαθηματική γνώση επεκτείνεται με την ανακάλυψη νέων αποτελεσμάτων τα οποία στερούνται αναφοράς στον φυσικό κόσμο. 
Για αιώνες το μοντέλο του προγράμματος αυτού ήταν η γεωμετρία των "Στοιχείων" του Ευκλείδη. Ωστόσο, αυτή η απόλυτη θέση κλονίστηκε από τα μέσα του 18ου αιώνα όταν οι Lobachevsky - Bolyai και Rieamann αρνούμενοι το 5ο αίτημα του Ευκλείδη παρήγαγαν αντιφάσεις, κάτω από την απόλυτη θέαση του Πλατωνισμού, εντός του Ευκλειδίου συστήματος.

Οι Πλατωνιστές για να διασώσουν την ισχύ της θεωρίας τους περί της απολυτότητας των μαθηματικών αντικειμένων, αναζήτησαν στήριξη στην αριθμητική, όπου η τυποποίηση της αριθμητικής από τη θεωρία συνόλων και τη λογική φάνηκε να βοηθάει. Όμως και αυτή η προσπάθεια δεν καρποφόρησε εξ' αιτίας των συνολοθεωρητικών παραδόξων. 

Όμως παρά την αποτυχία των προσπαθειών για την αξιωματικοποίηση των μαθηματικών, οι Πλατωνιστές διατηρούν την άποψη τους για τα μαθηματικά ως ενσάρκωση της αλήθειας της φύσης.

"Η πλατωνική θέση είναι αυτή που οι περισσότεροι μαθηματικοί θα προτιμούσαν να πάρουν. Δεν αναρωτιούνται παρά μόνο όταν μάθουν για τις δυσκολίες της θεωρίας συνόλων. Αν αυτές οι δυσκολίες τους αναστατώσουν, τότε θα σπεύσουν στο καταφύγιο του φορμαλισμού" (P. Cohen, 1971).